Un théorème formel de théorie du choix social qui affirme qu’aucune règle déterministe d’agrégation d’ordres de préférence complets individuels en un classement collectif ne peut satisfaire simultanément un ensemble standard d’axiomes d’équité — domaine non restreint, unanimité (paretienne), indépendance des alternatives non pertinentes et non‑dictature — lorsque le nombre d’alternatives est d’au moins trois.

Principe

Toute méthode d’agrégation d’ordres pour trois alternatives ou plus doit violer au moins un des axiomes énoncés ; le théorème impose des arbitrages explicites entre critères d’équité lors de la conception de règles électorales.

Démonstration

Scénario illustratif : Situation : trois électeurs classent différemment les candidats A, B et C de sorte que les majorités paires forment un cycle (A > B, B > C, C > A). Reconnaissance : l’application d’une règle d’ordonnancement respectant les préférences paires et l’indépendance conduit à des préférences collectives cycliques. Action : les concepteurs doivent renoncer ou affaiblir un axiome (par ex. restreindre le domaine des préférences ou relâcher l’indépendance). Conséquence : aucune règle de vote ne peut être à la fois entièrement équitable selon ces axiomes et universellement applicable à tous les profils de préférence à trois options ou plus.

Mauvaise application

Conclure que la prise de décision démocratique est impossible ou dépourvue de sens. L’erreur consiste à confondre une impossibilité formelle entre axiomes idéalisés avec l’utilité pratique des systèmes de vote ; le théorème identifie des compromis nécessaires mais n’implique pas que les méthodes de vote soient inopérantes en pratique.

Conséquence

Le théorème contraint les concepteurs à prioriser quels axiomes respecter, motive des restrictions de domaine (par ex. préférences à un seul pic), encourage la considération de mesures cardinales ou de procédures randomisées, et explique pourquoi différents systèmes de vote produisent des résultats normatifs différents.

Inversion

Si le domaine des préférences individuelles est restreint (par exemple aux préférences à un seul pic) ou si l’agrégation autorise des utilités cardinales, le hasard ou des ensembles de stratégies limités, des règles d’agrégation peuvent satisfaire davantage de critères d’équité ; l’impossibilité s’applique uniquement aux hypothèses spécifiées par le théorème.

Limite

Clairement dans : fonctions de choix social déterministes d’ordres complets de préférence sur trois alternatives ou plus sous les axiomes énoncés. Cas limite : méthodes d’agrégation acceptant des préférences incomplètes ou restreignant le domaine. Claire­ment hors : procédures de décision utilisant l’agrégation d’utilités cardinales, le choix social randomisé ou des ordres partiels non couverts par les hypothèses du théorème.

Tension sémantique

Cohérence majoritaire ↔ Indépendance des alternatives non pertinentes — l’exigence d’indépendance peut entrer en conflit avec la production d’un ordre majoritaire transitif, imposant la priorisation explicite d’axiomes.

Synthèse

La conclusion d’Arrow n’est pas une réfutation du choix collectif mais une cartographie formelle des compromis inévitables : tout système de vote pratique doit expliciter quel(s) critère(s) d’équité il sacrifie ou quelles restrictions de domaine il suppose.