Un teorema formal de la elección social que establece que ninguna regla determinista de agregación de órdenes de preferencia (sistema de votación) que convierta órdenes completos de preferencia individuales en un ranking colectivo puede satisfacer simultáneamente un conjunto estándar de axiomas de equidad — dominio irrestricto, unanimidad paretiana, independencia de alternativas irrelevantes y no‑dictadura — cuando hay al menos tres alternativas.

Principio

Cualquier método de agregación de órdenes para tres o más alternativas debe violar al menos uno de los axiomas listados; el teorema obliga a realizar compensaciones explícitas entre criterios de equidad al diseñar reglas de votación.

Demostración

Escenario ilustrativo: Situación: tres votantes ordenan candidatos A, B y C de forma que las mayorías por pares ciclan (A sobre B, B sobre C, C sobre A). Reconocimiento: aplicar una regla de ordenación que respete preferencias por pares e independencia conduce a preferencias colectivas cíclicas. Acción: los diseñadores deben abandonar o debilitar un axioma (p. ej., restringir el dominio de preferencias o relajar la independencia). Consecuencia: ninguna regla de votación puede ser al mismo tiempo totalmente justa según estos axiomas y universalmente aplicable a todos los perfiles de preferencia con tres o más opciones.

Aplicación incorrecta

Concluir que la toma de decisiones democrática es imposible o carece de sentido. El error es confundir una imposibilidad formal entre axiomas idealizados con la utilidad práctica de los sistemas de votación; el teorema identifica compensaciones necesarias pero no implica que todos los métodos de votación sean inútiles en la práctica.

Consecuencia

El teorema obliga a los diseñadores a priorizar qué axiomas satisfacer, motiva restricciones de dominio (por ejemplo, preferencias unimodales), fomenta considerar medidas cardinales o procedimientos aleatorizados y explica por qué distintos sistemas de votación producen resultados normativos distintos.

Inversión

Si se restringe el dominio de preferencias individuales (por ejemplo, a preferencias unimodales) o si la agregación permite utilidades cardinales, aleatoriedad o conjuntos de estrategias limitados, las reglas de agregación pueden satisfacer más criterios de equidad; la imposibilidad se aplica solo bajo las suposiciones del teorema.

Límite

Claramente dentro: funciones de elección social deterministas que agregan órdenes completos de preferencia sobre tres o más alternativas bajo los axiomas enunciados. Caso límite: métodos de agregación que aceptan preferencias incompletas o restringen el dominio. Claramente fuera: procedimientos decisorios que usan agregación de utilidades cardinales, elección social aleatorizada o procedimientos que admiten ordenaciones parciales no cubiertos por las hipótesis del teorema.

Tensión semántica

Consistencia mayoritaria ↔ Independencia de alternativas irrelevantes — imponer independencia puede entrar en conflicto con producir resultados mayoritarios transitivos, requiriendo priorizar axiomas.

Síntesis

El resultado de Arrow no refuta la elección colectiva sino que traza el mapa formal de compensaciones inevitables: exige que todo sistema de votación práctico declare qué condición(es) de equidad relaja o qué restricciones de dominio asume.