Modèle à un facteur du taux court où le taux instantané r_t suit une diffusion de réversion vers la moyenne à volatilité en racine carrée dr_t = κ(θ − r_t) dt + σ sqrt(r_t) dW_t ; le terme en racine tend à maintenir r_t non négatif et le modèle est affine, fournissant des prix fermés pour les obligations zéro‑coupon sous conditions usuelles sur les paramètres.

Principe

La diffusion en racine‑carrée rend la volatilité proportionnelle à sqrt(r_t), ce qui borne le processus aux faibles taux et — sous la condition de Feller (2κθ ≥ σ^2) — empêche d'atteindre zéro ; le modèle conserve une structure afffine permettant la valorisation analytique des obligations.

Démonstration

Scénario illustratif → Pour r_t et paramètres (κ,θ,σ) donnés, un analyste calcule P(t,T)=exp(A(t,T) − B(t,T) r_t) avec A,B du CIR et valorise des dérivés de taux sans recourir exclusivement au Monte‑Carlo lorsque les paramètres satisfont les conditions régulières.

Mauvaise application

Supposer que la dynamique CIR est gaussienne ou que la positivité est garantie sans conditions. Pourquoi plausible → CIR et modèles gaussiens sont tous deux à réversion de la moyenne ; erreur sémantique → CIR n'est pas gaussien et la positivité dépend des paramètres ; interprétation correcte → CIR limite les valeurs négatives mais peut atteindre zéro si la condition de Feller n'est pas satisfaite.

Conséquence

Conséquence de modélisation → meilleure préservation de la non‑négativité comparée aux modèles gaussiens, meilleur comportement en basses tasas ; conséquence pratique → densités de transition non centrées‑chi² et calibration/évaluation plus exigeantes.

Inversion

Si les paramètres dépendent du temps, les transitions analytiques s'adaptent mais la simplicité décroît ; si 2κθ < σ^2 le processus peut atteindre zéro et le comportement près de zéro nécessite un traitement explicite (conditions au bord ou méthodes numériques).

Limite

Clairement dans → modèle CIR un‑facteur à racine‑carrée avec paramètres positifs satisfaisant la condition de Feller. Cas limite → 2κθ = σ^2 marque le seuil à partir duquel zéro devient atteignable. Clair hors du champ → modèles gaussiens Vasicek ou cadres modélisant la courbe forward complète (HJM).

Tension sémantique

Positivité (diffusion racine‑carrée et contrainte de Feller) ↔ Complexité analytique et numérique (transitions non gaussiennes, calibration).

Synthèse

CIR fournit un mécanisme simple pour favoriser des taux courts non négatifs via une diffusion en racine‑carrée tout en conservant une structure affine ; il échange la simplicité gaussienne contre un comportement plus réaliste aux faibles niveaux et requiert prudence près de zéro.