Ein Ein‑Faktor‑Kurzzinsmodell, bei dem der instantane Kurzzins r_t einer mean‑reverting Wurzel‑Diffusion folgt dr_t = κ(θ − r_t) dt + σ sqrt(r_t) dW_t; der Wurzel‑Term begünstigt die Nichtnegativität von r_t und das Modell ist affin, wodurch Nullkuponpreise unter üblichen Parameterbedingungen geschlossen darstellbar sind.

Prinzip

Die Wurzel‑Diffusion macht die Volatilität proportional zu sqrt(r_t), was das Verhalten bei niedrigen Zinsen einschränkt und — unter der Feller‑Bedingung (2κθ ≥ σ^2) — das Erreichen von Null verhindert; zugleich bleibt die affine Zinsstruktur für analytische Bewertung erhalten.

Demonstration

Illustrierendes Szenario → Gegeben r_t und (κ,θ,σ) berechnet ein Analyst P(t,T)=exp(A(t,T) − B(t,T) r_t) mit CIR‑Funktionen A,B und bewertet Zinsderivate ohne reines Monte‑Carlo, sofern Regularitätsbedingungen erfüllt sind.

Fehlanwendung

Annahme, CIR‑Dynamik sei gaußsch oder Positivität sei bedingungslos gegeben. Warum plausibel → beide Modelltypen sind mean‑reverting; semantischer Fehler → CIR ist nicht gaußsch und Positivität hängt von Parametern ab; korrekte Deutung → CIR vermeidet negative Werte tendenziell, kann aber Null erreichen, wenn die Feller‑Bedingung verletzt ist.

Konsequenz

Modellfolgen → bessere Wahrung der Nichtnegativität gegenüber gaußschen Kurzzinsmodellen, geeignetere Darstellung bei niedrigen Zinssätzen; praktische Folge → Übergangsdichten sind nichtzentral chi², Kalibrierung und Berechnung sind anspruchsvoller.

Umkehrung

Bei zeitabhängigen Parametern passen sich die Übergangsverteilungen an, die analytische Einfachheit nimmt jedoch ab; ist 2κθ < σ^2, kann der Prozess Null erreichen und das Verhalten am Rand erfordert explizite Behandlung.

Abgrenzung

Klar innerhalb → CIR‑Ein‑Faktor‑Modell mit Wurzel‑Diffusion und positiven Parametern, die die Feller‑Bedingung erfüllen. Randfall → 2κθ = σ^2 markiert die Schwelle, ab der Null erreichbar wird. Klar außerhalb → Vasicek/Gauss‑Modelle oder Forward‑Curve‑Modelle (HJM).

Semantische Spannung

Positivität (Wurzel‑Diffusion, Feller‑Bedingung) ↔ Analytische und numerische Komplexität (nicht‑gaussche Übergangsdichten, Kalibrierung).

Synthese

CIR bietet eine sparsame Methode, Nichtnegativität durch eine Wurzel‑Diffusion zu fördern und gleichzeitig eine affine Struktur zu erhalten; dafür opfert es die gaußsche Einfachheit und erfordert Vorsicht bei Parametern nahe der Nullgrenze.