Modèle à un facteur du taux court dans lequel le taux instantané r_t suit une diffusion d'Ornstein–Uhlenbeck (gaussienne à retour vers la moyenne) dr_t = a(b − r_t) dt + σ dW_t ; le modèle est affine, admet des expressions fermées pour les prix des obligations zéro‑coupon et donne une loi gaussienne pour r_t, ce qui permet des taux négatifs.

Principe

Le retour vers la moyenne et la structure affine (linéaire en r_t) impliquent un prix d'obligation analytique : les prix sont des fonctions exponentielles affines de r_t et les transitions de r_t sont gaussiennes déterminées par a, b et σ.

Démonstration

Scénario illustratif → Au temps t, un analyste observe r_t et calcule le prix d'une obligation zéro‑coupon P(t,T)=exp(A(t,T) − B(t,T) r_t), où A et B sont des fonctions de (a,b,σ) ; conséquence → prix et sensibilités obtenus sans simulation numérique.

Mauvaise application

Considérer que le taux court Vasicek est garanti non négatif. Pourquoi plausible → les chocs gaussiens semblent modéliser de petites fluctuations ; erreur sémantique → la diffusion gaussienne admet des taux négatifs ; interprétation correcte → Vasicek peut produire des taux négatifs et n'est pas adapté si la positivité est exigée.

Conséquence

Tractabilité analytique : formules fermées pour obligations et options sur obligations permettant un calibrage et un prix rapides sous paramètres constants ; conséquence de modélisation → possibilité de taux courts négatifs et capacité limitée à ajuster une structure par terme initiale arbitraire avec paramètres constants.

Inversion

Si les paramètres deviennent dépendants du temps ou que des facteurs supplémentaires sont ajoutés, la distribution gaussienne stationnaire et les propriétés de calibrage simples changent ; pour garantir la positivité il faut remplacer la diffusion par un terme non gaussien (par ex. racine‑carrée).

Limite

Clairement dans → modèle du taux court Ornstein–Uhlenbeck à un facteur avec paramètres constants. Cas limite → σ→0 donne une convergence déterministe exponentielle vers b. Clair hors du champ → modèles à racine carrée (CIR) ou cadres de taux forward (HJM) qui imposent la positivité ou modélisent la courbe forward complète.

Tension sémantique

Tractabilité (formules fermées, Greeks analytiques) ↔ Réalisme (positivité des taux et ajustement flexible à la structure par terme).

Synthèse

Le Vasicek illustre clairement comment un taux court affine gaussien produit des prix analytiques : c'est une référence utile et entraînante pour l'analyse, qui échange réalisme (positivité et ajustement) contre la simplicité fermée.