Un modelo de un factor para la tasa corta en el que la tasa instantánea r_t sigue una difusión de Ornstein–Uhlenbeck (gaussiana con reversión a la media) dr_t = a(b − r_t) dt + σ dW_t; el modelo es afín, admite expresiones cerradas para precios de bonos cupón cero y produce una distribución gaussiana de tasas futuras, por lo que puede generar tasas negativas.

Principio

La reversión a la media y la estructura afín (lineal en r_t) implican valoración analítica: los precios de bonos son funciones exponenciales afines de r_t y las transiciones del tipo corto son gaussianas determinadas por a, b y σ.

Demostración

Escenario ilustrativo → En el tiempo t un analista observa r_t y emplea la fórmula Vasicek P(t,T)=exp(A(t,T) − B(t,T) r_t), con A y B funciones de (a,b,σ); consecuencia → precio y sensibilidades calculados sin simulación numérica.

Aplicación incorrecta

Asumir que la tasa Vasicek es necesariamente no negativa. Por qué parece plausible → choques gaussianos parecen modelar pequeñas variaciones; error semántico → la difusión gaussiana permite valores negativos; interpretación correcta → Vasicek puede producir tasas negativas y no es adecuado cuando se exige positividad.

Consecuencia

Tractabilidad analítica: fórmulas cerradas para bonos y opciones sobre bonos permiten valoración y calibración rápidas con parámetros constantes; consecuencia de modelado → posibilidad de tasas negativas y capacidad limitada para ajustar una estructura inicial de tipos arbitraria con parámetros constantes.

Inversión

Si los parámetros dependen del tiempo o se añaden factores, cambian la distribución gaussiana estacionaria y las propiedades simples de calibración; para imponer positividad hay que sustituir la difusión por términos no gaussianos (por ejemplo, raíz cuadrada).

Límite

Claramente dentro → modelo de tasa corta Ornstein–Uhlenbeck de un factor con parámetros constantes. Caso límite → σ→0 produce convergencia determinista exponencial hacia b. Claramente fuera → modelos de raíz cuadrada (CIR) o marcos de tasas forward (HJM) que imponen positividad o modelan la curva forward completa.

Tensión semántica

Tractabilidad (fórmulas cerradas, Greeks analíticos) ↔ Realismo (positividad de tipos y ajuste flexible a la estructura por plazos).

Síntesis

Vasicek muestra de forma clara cómo un tipo corto afín y gaussiano genera precios analíticos: útil como benchmark, pero sacrifica realismo (positividad y ajuste) por simplicidad cerrada.