##  [Modèle de Cox‑Ingersoll‑Ross](/fr/node/69263) 

 Définition

Modèle à un facteur du taux court où le taux instantané r_t suit une diffusion de réversion vers la moyenne à volatilité en racine carrée dr_t = κ(θ − r_t) dt + σ sqrt(r_t) dW_t ; le terme en racine tend à maintenir r_t non négatif et le modèle est affine, fournissant des prix fermés pour les obligations zéro‑coupon sous conditions usuelles sur les paramètres.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La diffusion en racine‑carrée rend la volatilité proportionnelle à sqrt(r_t), ce qui borne le processus aux faibles taux et — sous la condition de Feller (2κθ ≥ σ^2) — empêche d'atteindre zéro ; le modèle conserve une structure afffine permettant la valorisation analytique des obligations.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Scénario illustratif → Pour r_t et paramètres (κ,θ,σ) donnés, un analyste calcule P(t,T)=exp(A(t,T) − B(t,T) r_t) avec A,B du CIR et valorise des dérivés de taux sans recourir exclusivement au Monte‑Carlo lorsque les paramètres satisfont les conditions régulières.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la dynamique CIR est gaussienne ou que la positivité est garantie sans conditions. Pourquoi plausible → CIR et modèles gaussiens sont tous deux à réversion de la moyenne ; erreur sémantique → CIR n'est pas gaussien et la positivité dépend des paramètres ; interprétation correcte → CIR limite les valeurs négatives mais peut atteindre zéro si la condition de Feller n'est pas satisfaite.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Conséquence de modélisation → meilleure préservation de la non‑négativité comparée aux modèles gaussiens, meilleur comportement en basses tasas ; conséquence pratique → densités de transition non centrées‑chi² et calibration/évaluation plus exigeantes.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Si les paramètres dépendent du temps, les transitions analytiques s'adaptent mais la simplicité décroît ; si 2κθ < σ^2 le processus peut atteindre zéro et le comportement près de zéro nécessite un traitement explicite (conditions au bord ou méthodes numériques).

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Clairement dans → modèle CIR un‑facteur à racine‑carrée avec paramètres positifs satisfaisant la condition de Feller. Cas limite → 2κθ = σ^2 marque le seuil à partir duquel zéro devient atteignable. Clair hors du champ → modèles gaussiens Vasicek ou cadres modélisant la courbe forward complète (HJM).

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Positivité (diffusion racine‑carrée et contrainte de Feller) ↔ Complexité analytique et numérique (transitions non gaussiennes, calibration).

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

CIR fournit un mécanisme simple pour favoriser des taux courts non négatifs via une diffusion en racine‑carrée tout en conservant une structure affine ; il échange la simplicité gaussienne contre un comportement plus réaliste aux faibles niveaux et requiert prudence près de zéro.